想系统学习量化金融的“语言”，就绕不开连续时间随机过程：从布朗运动与马尔可夫性、鞅与测度变换，到 Itô 积分与 Itô 引理，再到几何布朗运动（GBM）、均值回复（OU）、随机波动率与跳扩散模型。本文以权威教材与高校讲义为主线，梳理核心概念、常见模型与数值方法，并在关键处标注出处，便于进一步深挖与自测。
一、最小词汇表：随机过程、马尔可夫性与鞅
随机过程是在时间轴上索引的一族随机变量。若满足给定当前状态即可“忘记历史”，即未来仅与现在有关，称为马尔可夫过程；这一定义是很多模型可解析、可计算的根基。与之并列的重要概念是鞅：其在满足条件的停时上具有可选停定理，是无套利与定价理论常用工具。
二、布朗运动：从维纳过程出发
标准布朗运动（维纳过程）是连续时间、路径连续、具有平稳独立增量的高斯过程：初值为零，增量服从正态分布，且几乎处处连续。它既是很多模型的“噪声源”，也是 Itô 微积分得以建立的核心对象。
布朗运动具有非零二次变差，这使得普通链式法则失效，从而需要 Itô 微积分来处理函数的随机微分与积分。
三、Itô 积分与 Itô 引理：连续时间的“链式法则”
Itô 积分将“先决策、后观察价格变动”的金融交易直觉形式化，适用于半鞅（含布朗运动）等广泛过程。Itô 引理给出对 Itô 过程的函数的微分公式，是推导 Black–Scholes 方程与众多数理金融结论的关键工具。
进一步的讲义可参考 MIT 的 Itô 等距与积分构造、NYU 讲义对积分版 Itô 引理的证明，这些材料能帮助你从“定义层面”把握随机积分。
四、从 GBM 到 Black–Scholes：风险中性与 PDE 的桥
在最基础的股票价格模型中，如果价格服从几何布朗运动 dS/S=μdt+σdW，结合风险中性测度与 Itô 引理，可得到著名的 Black–Scholes 定价公式。更一般地，Feynman–Kac 公式建立了 SDE 与二阶抛物型 PDE 之间的联系，使得期权定价既可走 SDE-蒙特卡罗路径，也可走 PDE-边值问题路径。
风险中性定价的测度变换工具来自 Girsanov 定理，它给出在布朗框架下如何通过 Radon–Nikodym 密度“移除漂移”；而“无套利⇔存在等价鞅测度”的基本定理（FTAP）为整个风险中性理论奠基。
五、典型过程族：从均值回复到跳扩散与 Lévy
均值回复的 Ornstein–Uhlenbeck（OU）过程是金融中最常用的高斯-马尔可夫过程之一，常见于利率、对冲组合与价差建模。其随时间向长期均值拉回，具有平稳性与可解析性。实务上，OU 的校准存在非平稳样本、估计偏差等细节坑，需要规范处理。
为刻画波动的随机性，Heston 模型采用平方根扩散的随机波动率并允许现货与波动之间相关，给出闭式特征函数定价，成功解释部分隐含波动率微笑现象。
仅靠连续扩散难以描述跳跃与厚尾，Merton 跳扩散与 Kou 双指数跳扩散在 GBM 上叠加复合泊松跳，能更好拟合尖峰厚尾及波动率偏斜。
更广义地，Lévy 过程以独立、平稳增量为特征，包含布朗与泊松等为特例，提供了构造带跳连续时间模型的统一框架。
六、数值方法与模拟：把理论落到代码
对一般 SDE 很难求显式解，Euler–Maruyama 是最常用的离散近似，满足在 Lipschitz 与线性增长条件下的强收敛阶 1/2；Milstein 方法通过引入 Itô 引理中的二阶项，把强收敛提高到 1 阶，适合扩散系数随状态变化的场景。
在定价实践中，GBM 下的期权与风险指标可借助蒙特卡罗模拟估计；复杂模型可结合弱收敛更高阶的变体与方差缩减技巧。
七、把数学接上金融经济学：无套利与鞅
鞅是“公平游戏”的数学化。可选停定理说明在满足条件的停时上，鞅的期望保持不变；与无套利相结合，构成等价鞅测度存在性的充分必要条件，从而将“价格=折现后的风险中性期望”严格化。这些结果在教材与讲义中有系统陈述。
八、常见误区与自查清单
忽略二次变差，把 Itô 引理当作普通链式法则用，往往导致推导错误；风险中性测度不是“真实世界概率”，不能直接用于历史回报分析；OU 校准若忽略样本非平稳与离群点，会得到偏误参数；在数值模拟中混淆强收敛与弱收敛阶，会导致错误的误差控制与网格设计。遇到上述场景，建议回到定义与定理的原文与大学讲义逐一核对。
九、学习路径与资料包
入门与进阶可参考 Shreve《Stochastic Calculus for Finance》两卷本，配合 CMU、MIT、NYU 的公开讲义；GBM 与 Black–Scholes 可用哥大讲义快速打通；Itô、Girsanov、Feynman–Kac 与 FTAP 建议循序阅读讲义与综述，逐步从“会用公式”走向“懂条件与证明”。
术语速查表（便于复习）
马尔可夫性：给定当前状态，未来与过去独立。
鞅：在可用信息下，条件期望的“公平性”。
Itô 引理：Itô 过程的函数的微分公式。
Girsanov：通过密度变换改变漂移，实现风险中性化。
Feynman–Kac：将定价期望与 PDE 解联系起来。
OU/GBM/Heston/Merton：均值回复、对数正态扩散、随机波动率、跳扩散四类常见模型。
